شناسایی نقاط تقاطع

تشخیص گوشه روشی است که در سیستم های بینایی کامپیوتر برای استخراج انواع خاصی از ویژگی ها و محتویات یک تصویر استفاده می شود. تشخیص گوشه اغلب در تشخیص حرکت، انطباق تصویر، ردیابی ویدئو، موزاییک تصویر، دوخت پانوراما، مدل سازی سه بعدی و تشخیص شی مورد استفاده قرار می گیرد. تشخیص گوشه و موضوع تشخیص نقطه برای رسیدن به هدف مشترک هم پوشانی دارد.
c c = 0 آنگاه خطایی وجود ندارد.
این الگوریتم را با تغییر خطوط مماسی به خطوط طبیعی می توان به الگوریتمی برای محاسبهٔ مراکز ویژگی های دایره ای تغییر داد.
گوشه را می توان به عنوان تقاطع دولبه تعریف کرد، همچنین می توان نقطه ای تعریف کرد که در همسایگی اش دو جهت لبهٔ متفاوت و غالب وجود دارد.
نقطهٔ مطلوب در تشخیص گوشه، نقطه ای است که موقعیتش به خوبی تعریف و شناسایی می شود. این به این معنی است که نقطهٔ مطلوب شناسایی شده می تواند به عنوان گوشه شناسایی شود، اما ممکن است یک نقطهٔ مجزایی باشد که شدت روشنایی اش نسبت به همسایگی اطرافش مقدار ماکزیمم یا مینیمم باشد، پایان یک خط باشد یا اینکه نقطه ای از یک منحنی باشد که در آن نقطه انحنای منحنی بیشترین مقدار می باشد.
در عمل، بیشتر روش های تشخیص گوشه به طور کلی نقاط مطلوب را تشخیص می دهند و در واقع، اصطلاح «گوشه» و «نقطهٔ مطلوب» در ادبیات های مختلف بیشتر یا کمتر تغییر می کند. در نتیجه، اگر فقط بخواهیم گوشه شناسایی شود، برای تشخیص نقاط گوشه های واقعی، لازم است تجزیه و تحلیل های محلی بر روی نقاط مطلوب انجام گیرد. نمونه هایی از تشخیص لبه که در پیش پردازش برای شناسایی گوشه به کار می رود، اپراتور کیرش و مجموعه ماسک فری-چن می باشد.

پایان‌نامه
تحلیل تصادفات جاده ای در تقاطع ها بر مبنای رویکرد مکان مبنا

چکیده:
امروزه آمار بالای تصادفات رانندگی و صدمات آن از معضلات مهم پیش روی جوامع است. این آمار حاکی از این مسئله است که تصادفات در تقاطع‌ها درصد بالایی از تعداد کل تصادفات را تشکیل می‌دهند و در کشور ایران نیز حدود 70 درصد تصادفات در تقاطع‌ها رخ می‌دهند. به-علاوه پیچیدگی پارامتر‌های مرتبط با تصادفات جاده‌ای و ماهیت مکانی آن‌ها موجب می‌شود داده‌های جمع‌آوری‌‌شده معمولاً حجیم و نا‌همگن باشند. روش‌های داده‌کاوی و بالاخص روش خوشه‌بندی برای تحلیل این نوع داده‌ها به منظور کاهش عدم تجانس و کشف الگو‌های مبهم مفید هستند. تا‌کنون تحقیقات زیادی به منظور ایجاد ارتباط بین مبحث خوشه‌بندی و تحلیل تصادفات جاده‌ای در تقاطع‌ها انجام گرفته است. برخی از مدل‌های آماری مانند پواسن و دو-جمله‌ای منفی استفاده کرده‌اند و برخی دیگر از خوشه‌بندی غیر‌آماری و غیر‌مکانی بهره گرفته-اند. تحلیل مکانی تصادفات جاده‌ای در تقاطع‌ها و اهمیت سیستم اطلاعات مکانی در این امر سبب می‌شود که در این تحقیق به تحلیل مکان‌مبنای تصادفات با الگوریتم‌های خوشه‌بندی مکانی آماری و غیر‌آماری پرداخته شود. در این تحقیق 6 پارامتر نوع تصادف، روشنایی، نوع منطقه، هندسه محل، عامل انسانی، هوا انتخاب شدند. هدف اصلی از این مطالعه شناسایی و تحلیل تقاطع‌های حادثه‌خیز جاده قدیم کرج-قزوین با استفاده از روش‌های خوشه‌بندی آماری و غیر‌آماری است. روش‌های خوشه‌بندی غیر‌آماری رایج از جمله خوشه‌بندی افرازی به دلیل امکان کنترل اندازه خوشه‌ها به وسیله کاربر و روش مبتنی بر چگالی DBSCAN به دلیل در نظر گرفتن تراکم داده‌ها و همچنین روش‌های آماری رایج از جمله برآورد تراکم کرنل به دلیل در نظر گرفتن تراکم و ماهیت داده‌ها، درک تغییرات جغرافیایی الگو‌های مکانی و تشخیص گسترش خطر تصادفات و روش‌های خود‌همبستگی مکانی از جمله *Getis-Ord Gi، Moran’s I و Anselin Local Moran’s I به دلیل در نظر گرفتن همبستگی مکانی بین پارامتر‌ها انتخاب شدند. در این تحقیق تصادفات مربوط به سال‌های 88 تا 92 جاده قدیم کرج-قزوین مورد بررسی قرار گرفتند. از آن‌جا که معمولاً روش‌های غیر‌آماری در شناسایی موقعیت و کنترل اندازه خوشه‌ها و روش‌های آماری در شناسایی نقاط حادثه‌خیز و بررسی وابستگی مکانی بین پارامتر‌ها در سال‌های مختلف به کار می‌روند، ترکیب این دو روش می‌تواند در تحلیل تصادفات جاده‌ای در تقاطع‌ها مناسب باشد. نتایج حاصل از توابع خود‌همبستگی و تابع کرنل موجب شناسایی، 3 تقاطع حادثه‌خیز برای مسیر رفت و 1 تقاطع حادثه‌خیز برای مسیر برگشت شدند. همچنین بر اساس مقایسه روش‌های خوشه‌بندی غیر‌آماری مورد استفاده، روش DBSCAN نسبت به بقیه بهتر می‌تواند مناطق حادثه‌خیز را مدل کند. نتایج حاصل از تابع Moran نشان می‌دهد که برای مسیر رفت پارامتر‌های نوع تصادف و هندسه محل دارای خود‌همبستگی مکانی و برای مسیر برگشت پارامتر عامل انسانی دارای خود‌همبستگی مکانی در 5 سال متوالی است.

تشخیص گوشه

تشخیص گوشه روشی است که در سیستم های بینایی کامپیوتر برای استخراج انواع خاصی از ویژگی ها و محتویات یک تصویر استفاده می شود. تشخیص گوشه اغلب در تشخیص حرکت، انطباق تصویر، ردیابی ویدئو، موزاییک تصویر، دوخت پانوراما، مدل سازی سه بعدی و تشخیص شی مورد استفاده قرار می گیرد. تشخیص گوشه و موضوع تشخیص نقطه برای رسیدن به هدف مشترک هم پوشانی دارد.
c c = 0 آنگاه خطایی وجود ندارد.
این الگوریتم را با تغییر خطوط مماسی به خطوط طبیعی می توان به الگوریتمی برای محاسبهٔ مراکز ویژگی های دایره ای تغییر داد.
گوشه را می توان به عنوان تقاطع دولبه تعریف کرد، همچنین می توان نقطه ای تعریف کرد که در همسایگی اش دو جهت لبهٔ متفاوت و غالب وجود دارد.
نقطهٔ مطلوب در تشخیص گوشه، نقطه ای است که موقعیتش به خوبی تعریف و شناسایی می شود. این به این معنی است که نقطهٔ مطلوب شناسایی شده می تواند به عنوان گوشه شناسایی شود، اما ممکن است یک نقطهٔ مجزایی باشد که شدت روشنایی اش نسبت به همسایگی اطرافش مقدار ماکزیمم یا مینیمم باشد، پایان یک خط باشد یا اینکه نقطه ای از یک منحنی باشد که در آن نقطه انحنای منحنی بیشترین مقدار می باشد.
در عمل، بیشتر روش های تشخیص گوشه به طور کلی نقاط مطلوب را تشخیص می دهند و در واقع، اصطلاح «گوشه» و «نقطهٔ مطلوب» در ادبیات های مختلف بیشتر یا کمتر تغییر می کند. در نتیجه، اگر فقط بخواهیم گوشه شناسایی شناسایی نقاط تقاطع شود، برای تشخیص نقاط گوشه های واقعی، لازم است تجزیه و تحلیل های محلی بر روی نقاط مطلوب انجام گیرد. نمونه هایی از تشخیص لبه که در پیش پردازش برای شناسایی گوشه به کار می رود، اپراتور کیرش و مجموعه ماسک فری-چن می باشد.

معامله کردن با تقاطع اندیکاتورهای میانگین متحرک

در صورتی که آموزش‌های قبلی را خوانده باشید تاکنون باید با نحوه تشخیص روند از طریق اندیکاتور میانگین متحرک آشنا شده باشید.

همچنین احتمالاً بدانید که چگونه از طریق اندیکاتور میانگین متحرک می‌توان پایان و تغییر جهت روند را پیشبینی کرد.

بعنوان یک سرمایه‌گذار هدف شما شناخت روند و حرکت با آن تا جای ممکن است.

باید بدانید که کجا وارد یک سهم شده و کجا از آن سهم خارج شوید.

برخی روندها کوتاه مدت بوده و برخی دیگر بلند مدّت هستند. امّا شما بصورت دقیق نمی‌دانید که روند فعلی تا کجا ادامه پیدا خواهد کرد و جقدر ادامه خواهد یافت.

ابزار تکنیکالی به نام تقاطع میانگین متحرک وجود دارد که سیگنالی است جهت ورود یا خروج از یک سهم.

تقاطع میانگین متحرک زمانی رخ می‌دهد که دو اندیکاتور میانگین متحرک با بازه زمانی متفاومت با یکدیگر برخورد کنند.

بدلیل اینکه اندیکاتور میانگین متحرک با تاخیر زمانی به ما سیگنال دهی می‌کند، ممکن است که این ابزار نقطه دقیق سقف و یا کف را به ما معرفی نکند امّا در باره تغییر روند یک ابزار مفید است.

ابزار تکنیکال تقاطع میانگین متحرک به ما کمک می‌کندکه به سوال پاسخ دهیم

1. قیمت‌ها احتمالاً در چه جهتی حرکت خواهند کرد؟
2. نقطه‌‌ای که پتانسیل ورود به سهم در آن وجود دارد، چه نقطه‌ای است؟
3. چه زمانی ممکن است روند تمام شده و یا معکوس گردد؟

برای پاسخ به این سوالات، تنها کاری که باید انجام دهیم رسم چند اندیکاتور میانگین متحرک بر روی نمودار و صبر کردن تا زمان تقاطع آنهاست.

در صورتی که اندیکاتورهای میانگین متحرک با یکدیگر برخورد کردند، می‌تواند سیگنالی در رابطه با تغییر جهت روند باشد، همچنین ممکن است فرصتی باشد برای ورود در نقطه‌ای مناسب.

شکل بالا مربوط به شرکت گسترش سرمایه‌گذاری ایران خودرو (خگستر) بوده که در بهمن ماه 96 تا اردیبهشت سال 97 از حدود قیمتی3200 ریال تا قیمت 2200 ریال افت کرده است. در صورتی که شما صاحب این سهم بودید می توانستید در این نقطه از سهم خارج شده و متنظر بمانید تا در زمانی مناسب دوباره از خرید آن سود کنید.

در صورتی که به موقع از این سهم خارج می‌شدید به اندازه 30% از ضرر خود جلوگیری کرده بودید. البته برای خروج و یا ورود به یک سهم بجز نقطه مناسب داشتن استراتژی و همچنین داشتن حد ضرر مناسب لازم است.

مورد بعدی که در زمان استفاده از اندیکاتور تقاطع میانگین متحرک باید در نظر داشته باشید، اینست که این ابزار در بازاهای روند دار به زیبایی کار می‌کند در حالیکه در بازارهای رنج عملکرد مناسبی ندارد. زیرا تعداد برخوردها در بازارهای رنج بسیار زیاد شده و تشخیص روند آینده غیرقابل انجام است.

بصورت خلاصه، تقاطع اندیکاتورهای میانگین متحرک شناسایی نقاط تقاطع در شناسایی روند جدید و همچنین پایان روند قبلی به ما کمک می‌کند.

این اندیکاتور به سیستمی در اختیار ما می‌گذارد که نقطه بالقوه ورود و خروج را به ما معرفی می‌کند. این نقطه ممکن است با کمک الگوها و یا مقاومت و حمایت های سهم تقویت شود.

مقدمه

خط حقیقی: برای نمایش اعداد حقیقی از یک دستگاه مختصات بنام خط حقیقی یا محور x استفاده می‌کنیم. عدد حقیقی نظیر یک نقطه روی خط حقیقی مختص آن نقطه نامیده می‌شود. همان طور که می‌دانیم نقطه‌ای از خط حقیقی که نظیر صفر است مبدأ نامیده می‌شود و اعدادی که در سمت راست مبدأ واقع می‌شوند طبق قرارداد اعداد مثبت و اعدادی که در سمت چپ مبدأ قرار دارند به عنوان اعداد منفی معرفی شده‌اند. هر نقطه روی خط حقیقی نظیر یک و تنها یک عدد حقیقی است. این نوع رابطه را تناظر یک به یک می‌نامند.

صفحه دکارتی

همانطور که اعداد حقیقی را می‌توان با نقاط روی خط حقیقی نشان داد، جفتهای مرتب اعداد حقیقی را می‌توان با نقاط روی یک صفحه نمایش داد. جفت مرتب (x,y) از اعداد حقیقی دارای عضو اول x و عضو دوم y است. مدل نمایش جفتهای مرتب را دستگاه مختصات قائم یا صفحه دکارتی می‌نامند. این مدل عبارت است از دو خط حقیقی که در زوایای قائم متقاطع می‌باشند. خط حقیقی افقی را معمولا محور x و خط حقیقی قائم را محور y می‌نامند. نقطه اشتراکشان مبدأ نام دارد. همانطور که گفتیم صفحه مختصات دکارتی از متقاطع شدن دو محور حقیقی با یکدیگر در نقطه‌ای به نام مبدأ حاصل می‌گردد. این تقاطع صفحه را به دو قسمت تقسیم می‌کند که به هر یک از این قسمتها یک ربع گفته می‌شود. بنابراین توسط دستگاه مختصات دکارتی ما می‌توانیم یک صفحه را به چهار ربع تقسیم کنیم.

مختصات یک نقطه

در صفحه دکارتی نقاط از دو مؤلفه به نامهای x , y تشکیل یافته‌اند که با یکدیگر تشکیل جفتهای مرتب را می‌دهند مانند (x و y) در واقع جفتهای مرتب (x و y) مختصات یک نقطه در صفحه دکارتی می‌باشند. عدد x فاصله جهت دار از محور y تا نقطه و y فاصله جهت دار از محور x تا نقطه می‌باشند.

فرمولهای فاصله و نقطه میانی در صفحه دکارتی

فاصله: برای بدست آوردن فاصله بین دو نقطه

قضیه فیثاغورس را به یاد می‌آوریم که در یک مثلث قائم الزاویه به وتر و اضلاع a شناسایی نقاط تقاطع و b داریم: و همین طور عکس قضیه نیز برقرار است. بنابراین برای بدست آوردن فاصله d بین دو نقطه مذکور می‌توانیم توسط این دو نقطه مثلث قائم الزاویه‌ای تشکیل دهیم طول ضلع قائم این مثلث توسط رابطه

و طول ضلع افقی توسط رابطه

بدست می‌آید. طبق قضیه فیثاغورث توان دوم فاصله با مجموع مربع دو ضلع دیگر مساوی است.

فرمول نقطه میانی: نقطه میانی پاره خط واصل بین نقاط

تعریف دایره در صفحه دکارتی: فرض کنیم (k و h) نقطه‌ای در صفحه بوده و r>0. مجموعه تمام نقاط (x,y) که r فاصله بین (k و h) و (x و y) باشد یک دایره نام دارد. نقطه (k و h) را مرکز و r را شعاع دایره می‌نامیم. از فرمول فاصله می‌توان برای نوشتن معادله دایره استفاده کنیم.

مفهوم نمودار در یک صفحه دکارتی

معمولا از نمودار برای نشان دادن ارتباطی که بین دو کمیت استفاده می‌شود. در صنعت و تجارت از نمودارها برای گزارش تولید ماهانه و آمارهای فروش استفاده می‌شود. در جامعه شناسی از نمودارهای برای نشان دادن ارتباط بین میزان بیکاری و سطح سواد استفاده می‌شود و هزاران رابطه دیگر که در علوم مختلف توسط نمودارها با یکدیگر مقایسه می‌شوند. در واقع یک رابطه بین دو کمیت اغلب با معادله بیان می‌شود. برای نمایش این نمودارها در صفحه دکارتی با قرار دادن نقاط دلخواهی برای x یا y در معادله نمودار و یافتن جواب برای مولفه دیگر می‌توانیم نقاط جواب معادله را شناسایی کرده و در صفحه مختصات آنها را پیدا کنیم و با رسم خط یا منحنی مربوطه نمودار معادله را رسم نماییم.

کاربردها

همان طور که در بالا توضیح داده شد یکی از کاربردهای صفحه دکارتی رسم نمودار ها و نمایش ارتباط بین کمیت‌هاست. یکی دیگر از کاربردهای مخصات دکارتی در بنای چرخ عظیمی است که امروزه چرخ و فلک نامیده می‌شود. چرخ فریس توسط جرج قریس (Veorge Ferris 1859 – 1896) آمریکایی که مهندس مکانیک بود طراحی شده است. اولین و بزرگترین در ۱۸۹۴ برای نمایشگاه جهانی کلمبیا در شیکاگو ساخته شد.

ساده سازی فرآیند ترسیم نمودار با تقاطع ها و تقارن

ترسیم نمودار منحنی ها می تواند به هر میزان که شما بخواهید زمان ببرد، یا به هر سرعتی که بخواهید سریع صورت پذیرد. اگر شما از مزایای ویژگیهای منحنی ها در ترسیم نمودارتان بهره ببرید، می توانید زمان ترسیم نمودار را کاهش بدهید و همینطور دقت خود را بهبود ببخشید. دو ویژگی که شما به سرعت می توانید شناسایی کنید و آنها را بیابید، تقاطع ها (intercepts) و تقارن (symmetry) نمودارها می باشند.

پیدا کردن تقاطع های \(x\) و \(y\): (طول از مبدأ و عرض از مبدأ)

تقاطع های (intercepts) یک نمودار در محل هایی که خطهای نمودار از محورها عبور می کند، ظاهر می شوند. نمودار یک منحنی ممکن است هرگز محوری را قطع نکند، اما وقتیکه چنین باشد (یعنی از محورها عبور کند)، دانستن نقاط تقاطع بسیار سودمند می باشد.

یادتان باشد: طول از مبدأ (x-intercepts) همواره در قالب \( (h,0) \) می باشد ـــ مختصات \(y\) برابر با \(0\) می باشد، زیرا نقطه در محور \(X\) قرار دارد. عرض از مبدأ (y-intercepts) دارای قالب \( (0,k) \) می باشد ـــ مختصات \(x\) صفر می باشد، زیرا نقطه در محور \(Y\) قرار دارد. برای پیدا کردن طول از مبدأ و عرض از مبدأ ، به ترتیب اجازه می دهید \(y\) و \(x\) برابر با صفر باشند. برای پیدا کردن طول از مبدأ در یک منحنی، \(y\) را برابر با صفر قرار می دهید و معادله مربوطه را برای یافتن \(x\) حل می کنید. برای پیدا کردن عرض از مبدأ در یک منحنی، \(x\) را برابر با صفر قرار می دهید و معادله را برای یافتن \(y\) حل می کنید.

برای مثال، نمودار \(y=-x^2+x+6\) دارای دو طول از مبدأ و یک عرض از مبدأ می باشد:

• برای پیدا کردن طول از مبدأ ها، اجازه دهید \(y=0\) باشد. سپس معادله درجه دوم \(0=-x^2+x+6=-(x^2-x-6)\) را خواهید داشت. شما این معادله را با فاکتورگیری آن به شناسایی نقاط تقاطع \(0=-(x-3)(x+2)\) حل می کنید. دو پاسخ بدست آمده \(x=3\) و \(x=-2\) می باشند، بنابراین دو طول از مبدأ عبارت از \( (3,0) \) و \( (-2,0) \) شناسایی نقاط تقاطع می باشند.
  
• برای پیدا کردن عرض از مبدأ، اجازه دهید \(x=0\) باشد. این به شما معادله \(y=-0+0+6=6\) را می دهد. بنابراین، عرض از مبدأ برابر با \( (0,6) \) می باشد.
  

تقارن (symmetry) در نمودار

وقتی که یک آیتم از لیست، یا یک چیز جداگانه، متقارن (symmetric) باشد، شما می توانید یک همانی یا الگو را در آن مشاهده کنید. یک نمودار متقارن، نسبت به یکی از محورها، به گونه ای ظاهر می شود که بازتاب وارونه ای از خودش در سمت دیگر محور داشته باشد. یک نمودار متقارن نسبت به مبدأ با یک چرخش \(180\) درجه ای، یکسان به نظر می رسد. شکل 5-5 سه منحنی و سه تقارن را نشان می دهد: تصویر a یک تقارن نسبت به محور \(Y\) را نشان می دهد، تصویر b یک تقارن نسبت به محور \(X\) را نشان می دهد، و تصویر c یک تقارن نسبت به مبدأ نشان می دهد.

تشخیص اینکه نمودار یک منحنی دارای تقارن می باشد به شما کمک می کند نمودار را ترسیم کنید و ویژگیهای آن را تعیین نمایید. بخش های زیر روش های تشخیص وجود تقارن، از روی نمودار یک معادله را به صورت کلی بیان کرده اند.

تقارن نسبت به محور \(Y\)

یادتان باشد: معادله ای در این شکل را در نظر بگیرید: \(y=\) یک عبارت که در آن \(x\) هایی قرار دارند. اگر در این معادله هر \(x\) را با \(-x\) جایگزین کنید، و مقدار \(y\) تغییر نکند، منحنی مربوطه بازتاب وارونه ای از خودش نسبت به محور \(Y\) می باشد. این نمودار شامل نقاط \( (x,y) \) و \( (-x,y) \) می باشد.

برای مثال، نمودار معادلۀ \(y=x^4-3x^2+1\) نسبت به محور \(Y\) متقارن می باشد. اگر هر \(x\) را با \(-x\) جایگزین کنید، معادله بدون تغییر باقی می ماند. با جایگزین کردن \(-x\) به جای \(x\) ، خواهید داشت: \(y=(-x)^4-3(-x)^2+1=x^4-3x^2+1 \) . عرض از مبدأ برابر با \( (0,1) \) می باشد. برخی از نقاط دیگر عبارت از \( (1,-1) \) ، \( (-1,-1) \) ، و \( (2,5) \) ، \( (-2,5) \) می باشند. توجه داشته باشید که \(y\) برای \(x\) های منفی و مثبت یکسان می باشد. با تقارن نسبت به محور \(Y\) ، برای هر نقطۀ \( (x,y) \) بر روی نمودار، شما همچنین نقطۀ \( (-x,y) \) را نیز می یابید. به دلیل وجود این جفت ها، وقتیکه معادله ای دارای تقارن باشد، پیدا کردن نقاط آسانتر می باشد. شکل 6-5 نمودار معادلۀ \(y=x^4-3x^2+1\) را به شما نشان می دهد.

تقارن نسبت به محور \(X\)

یادتان باشد: معادله ای در این شکل را در نظر بگیرید: \(x=\) عبارتی که در آن \(y\) هایی قرار دارند. اگر هر \(y\) را با \(-y\) جایگزین کنید و مقدار \(x\) تغییری نکند، منحنی بازتاب وارونه ای از خودش بر روی محور \(X\) می باشد. این نمودار شامل نقاط \((x,y)\) و \((x,-y)\) می باشد.

برای مثال، نمودار \(x=\) نسبت به محور \(X\) متقارن می باشد. هرگاه که مقدار \(y\) را با \(-y\) جایگزین کنید، مقدار\(x\) بدون تغییر خواهد ماند. طول از مبدأ (x-intercept) برابر با \( (10,0) \) می باشد. برخی شناسایی نقاط تقاطع نقاط دیگر بر روی این نمودار، عبارت از \( (5, 1), (5, –1) \) و \((2, 2), (2, –2)\) و \( (1, 3), (1, –3)\) می باشند. توجه داشته باشید که جفت های نقاط دارای مقادیر مثبت و منفی از \(y\) می باشند اما دارای مقدار یکسانی برای \(x\) می باشند. اینجا جایی است که تقارن وارد می شود: برای هر مختصات \(x\) ، جفت ها هم دارای مقادیر مثبت و هم دارای مقادیر منفی می باشند ـــ در هر دو سمت محور \(X\) . تقارن نسبت به محور \(X\) به این معنا می باشد که به ازاء هر نقطۀ \( (x,y) \) بر روی منحنی، شما همچنین می توانید نقطۀ \( (x,-y) \) را نیز بیابید. این تقارن پیدا کردن نقاط و ترسیم نمودار را ساده تر می کند. نمودار \( x= \) در تصویر 7-5 نمایش داده شده است.

تقارن نسبت به مبدأ

یادتان باشد: معادله ای در این شکل را در نظر بگیرید: \(y=\) عباراتی از \(x\) ها، یا \(x=\) عباراتی از \(y\) ها. اگر تغییر دادن هر عدد به مقدار مخالفش، برابر با ضرب کردن کل عبارت در \(-1\) باشد، منحنی می تواند \(180\) درجه نسبت به مبدأ بچرخد و تصویر خودش باشد. این نمودار شامل نقاط \( (x,y) \) و \( (-x,-y) \) می باشد.

برای مثال، نمودار \( y=x^5-10x^3+9x \) نسبت به مبدأ، متقارن می باشد. وقتیکه هر \(x\) و \(y\) را با \(-x\) و \(-y\) جایگزین کنید، به \( -y=-x^5+10x^3-9x \) می رسید، که برابر با ضرب کردن همۀ جملات در \(-1\) می باشد. در اینجا مبدأ هم طول از مبدأ و هم عرض از مبدأ می باشد. سایر طول از مبدأ ها عبارت از \( (1, 0), (–1, 0) \) و \( (3, 0), (–3, 0) \) می باشند. سایر نقاط بر روی نمودار منحنی شامل \( (2, –30),(–2, 30), (4, 420), (–4, –420)\) می باشند. این نقاط این واقعیت را بیان می کنند که \( (x,y) \) و \( (-x,-y) \) هر دو بر روی نمودار هستند. شکل 8-5 نمودار \( y=x^5-10x^3+9x \) را نشان می دهد (من درجه محور \(Y\) را تغییر داده ام تا هر تیک مارک نشان دهندۀ \(10\) واحد باشد).